Recibido: 01/07/2024
Aceptado: 11/09/2024
https://revistas.unj.edu.pe/index.php/pakamuros
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Volumen 12, Número 3, Julio-Septiembre, 2024, Páginas 41 al 54
DOI: https://doi.org/10.37787/fx5rxa24
ARTÍCULO ORIGINAL
Análisis de estructura con doble simetría empleando el método de rigidez directo y sistematizado
Analysis of a structure with double symmetry using the direct and systematized stiffness method.
Marcos Rupay
1
*, Dayana Quispe1, Frey Sánchez1, Jessica Espinoza1, Joel Alhuay1 y Yesenia Castillón1
RESUMEN
La investigación tiene por finalidad calcular las fuerzas internas de una estructura utilizando el método de rigidez
directo y sistematizado. La metodología empleada consiste en simplificar la estructura usando su doble simetría,
aplicar los métodos de rigidez y verificar resultados con un software. La estructura de estudio está compuesta por
columnas y vigas, con deformación por flexión constante y deformación axial infinita. Se establecen tres grados
de libertad (un desplazamiento y dos giros) que se toma como partida para el desarrollo de ambos métodos de
análisis. En el primer método se emplearon el sistema Q-D, el sistema primario, el sistema complementario y el
vector de deformaciones, sin embargo, en el método sistematizado se usaron el sistema Q-D (global), el sistema
q-d (local), la matriz de transformación "A", la matriz de rigidez de cada barra, el ensamblaje de la matriz de
rigidez, el vector de carga y el vector de deformación; el resultado de ambos casos de estudio son las fuerzas
internas, que al compararse nos indican que los valores numéricos obtenidos son los mismos. Finalmente, se utilizó
el software Ftool para verificar la precisión de los resultados, que corroboraron los cálculos manuales, validando
la aceptabilidad de los métodos aplicados.
Palabras clave: Cortante, deformación axial, flexión, Ftool, sistema Q-D.
ABSTRACT
The research aims to calculate the internal forces of a structure using the direct and systematic stiffness methods.
The methodology involves simplifying the structure using its double symmetry, applying stiffness methods, and
verifying results with software. The structure under study consists of columns and beams, with constant flexural
deformation and infinite axial deformation. Three degrees of freedom (one displacement and two rotations) are
established as the basis for the development of both analysis methods. In the first method, the Q-D system, the
primary system, the complementary system, and the deformation vector were used. In the systematic method, the
global Q-D system, the local q-d system, the transformation matrix "A," the stiffness matrix of each bar, the
assembly of the stiffness matrix, the load vector, and the deformation vector were utilized. The results from both
methods are internal forces, which, when compared, indicate that the numerical values obtained are the same.
Finally, the Ftool software was used to verify the accuracy of the results, which confirmed the manual calculations,
validating the acceptability of the applied methods.
Keywords: Shear, axial deformation, bending, Ftool, Q-D system.
*Autor para correspondencia
1
Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Perú. Email: mrupay@uniscjsa.edu.pe,
73579338@uniscjsa.edu.pe, 72240420@uniscjsa.edu.pe, 75282760@uniscjsa.edu.pe, 72906807@uniscjsa.edu.pe,
74554356@uniscjsa.edu.pe
Rupay et al.
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INTRODUCCIÓN
Según Boscarino et al. (2007) la simetría es una alternativa para alcanzar el equilibrio, asegurando que
las fuerzas aparentes se compensen entre sí y que todos los elementos actúen eficientemente; así Pérez
(2012) indica que una estructura que es simétrica y tiene carga simétrica se puede reducir a media
estructura, bajo este concepto la estructura de estudio presenta una simetría de geometría, rigidez y
apoyos indicando la aplicación de una doble simetría, esto reduce la estructura al grado tal que el análisis
se realice en una cuarta parte del total.
Godiño et al. (2017) mencionan que los grados de libertad de una estructura son la mínima cantidad de
parámetros (desplazamientos de traslación y rotación) que proporcionan una descripción única de la
estructura deformada. Por ello para la selección del sistema Q-D, se elige el sistema de desplazamientos
nodales a analizar; considerando que varía según la forma y las características del diseño.
Según Ramón (2020) menciona que el método de la rigidez es especialmente útil para estructuras
hiperestáticas, donde las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determinar todas las fuerzas
internas. Asimismo, Rupay et al. (2023) indican que el cálculo utilizado en el enfoque de rigidez directa
es relevante para una construcción hiperestática que se encuentra compuesta por una cantidad
determinada de elementos estáticos con un comportamiento lineal, por otro lado desde el punto de vista
de Hurtado (2013), el enfoque directo implica ensamblar la matriz de rigidez de las partes estructurales
teniendo en cuenta la compatibilidad de los desplazamientos; puesto que se hace una transferencia de
información del sistema local al global, con énfasis en la relación en los desplazamientos en los puntos
nodales. Estas investigaciones subrayan la relevancia y la efectividad del método de rigidez en el análisis
de construcciones complejas en ingeniería estructural.
Así, Vargas et al. (2023) indican que el principal beneficio del enfoque sistematizado de la rigidez es la
habilidad para evaluar estructuras con componentes múltiples en cuanto a material y forma. Además,
debido a su formulación matricial, el análisis puede automatizarse, lo que acelera el procedimiento y
disminuye la probabilidad de error humano; de acuerdo con Celigüeta (1998), el enfoque de rigidez
sistematizado se utiliza para determinar las características de rigidez de los componentes y resolver
ecuaciones de equilibrio para hallar desplazamientos y fuerzas internas. Este enfoque, ampliamente
utilizado en softwares de análisis estructural, evalúa la eficiencia, seguridad y estabilidad de las
estructuras bajo diversos escenarios de carga para así maximizar el diseño y garantizar la integridad
estructural, Kassimali y Prashant (2011) sugieren el método de la rigidez sistematizada como un método
de análisis estructural que utiliza matrices para expresar la rigidez de los elementos, además, permite
descomponer y resolver problemas estructurales mediante ecuaciones matriciales, lo que facilita
determinar deformaciones, fuerzas internas y reacciones dentro de la estructura.
Análisis de estructura con doble simetría empleando el método de rigidez directo y sistematizado
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De acuerdo con Rupay et al. (2024), los pasos a seguir parar resolver un ejercicio del método de rigidez
es la identificación y descomposición de la estructura, formulación de la matriz de cada elemento,
ensamblaje de la matriz global, cálculo de desplazamientos y reacciones; por otro lado, el método directo
de la rigidez resuelve los desplazamientos nodales y las reacciones en los soportes ensamblando la matriz
de rigidez y particionándola para separar los nodos libres de los restringidos, se resuelven las ecuaciones
de equilibrio para los desplazamientos nodales y luego se calculan las reacciones de soporte (Leet et al.,
2018). Teniendo claro los conceptos antes presentados se analiza las estructuras para hallar las fuerzas
internas actuantes, considerando que los métodos aplicados manualmente nos arrojan resultados fiables,
pero se intenta probar cual de estos métodos nos indicaran los valores numéricos más exactos. Una forma
fácil y sencilla de comprobar los resultados es la empleabilidad de un software, así Silva (2017) afirma
que el Ftool proporciona análisis detallados, incluidos diagramas de fuerza internas y estructuras
deformadas, y hace que el proceso de definición de modelos estructurales sea más eficiente. Su precisión
a la hora de proporcionar resultados para combinaciones de carga complejas lo convierte aún más en una
herramienta importante en ingeniería estructural.
Este artículo se planteó originalmente con la finalidad de ampliar el conjunto de conocimientos que
ofrece recursos útiles a profesionales, académicos y estudiantes. Además de validar investigaciones
anteriores que se concentraron en un método particular; este artículo contribuye a expandir el acervo de
conocimientos dentro del campo del análisis estructural al ofrecer una comparación exhaustiva de dos
enfoques; tiene como propósito determinar cuál de los dos es más eficaz en términos de precisión, tiempo
de cálculo y viabilidad, donde se validan los resultados con el programa FTOOL. Las limitaciones de
este trabajo de investigación es que los resultados pueden ser específicos para el problema estructural
analizado y pueden no ser generalizables a otros tipos de estructuras o condiciones de carga.
MATERIALES Y MÉTODOS
Según Ottazzi (2010) el método de rigidez tiene fases direccionadas al análisis de estructuras, donde se
utilizan las ecuaciones de equilibrio de nudo, las relaciones de compatibilidad y las ecuaciones
constitutivas para llegar a una solución.
A su vez, Cervera y Blanco (2002) menciona que el método de rigidez cuenta con una gran ventaja sobre
los demás, ya que este es un planteamiento sistemático del método de equilibrio que tiene su fundamento
bajo los principios de compatibilidad, equilibrio, linealidad y superposición. También ese a de resaltar
que la matriz de rigidez de la estructura es una matriz cuadrada conformada por la matriz de rigidez de
cada elemento (Tena, 2007).
Rupay et al.
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Figura 1
Diagrama de flujo de la metodología aplicada
Método directo de la rigidez
a) Selección del sistema Q - D: Se elige el sistema de desplazamientos nodales.
b) Determinar el vector de fuerzas nodales {Q}: en función a los grados de libertad.
c) Determinar el sistema primario {} considerando las cargas sobre la barra.
d) Calcular [] con el sistema complementario.
e) La matriz de rigidez []: Se ensambla la matriz considerando los coeficientes por barras.
Análisis de estructura con doble simetría empleando el método de rigidez directo y sistematizado
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f) Calcular el vector de deformación []: desplazamientos nodales {D} = [K]⁻¹ {Q}.
g) Calcular las fuerzas internas []: Se calculan las fuerzas internas a partir de los desplazamientos.
Método sistematizado de la rigidez
a) Determinar el sistema Q-D y q-d
b) Calcular las matrices de rigidez [i] y transformación de cada barra [i].
c) Ensamblar la matriz de la estructura )
d) Determinar el vector de carga de la estructura )
e) Calcular las deformaciones en los GDL
f) Encontrar las deformaciones en los GDL (q-d)
g) Encontrar las fuerzas internas en los GDL (q-d)
Sotfware ftool
El software Ftool es capaz de resolver problemas de análisis estructural. Permite modelar de manera
sencilla y eficaz, ofreciendo gran precisión en los resultados (Mascarenhas et al., 2020).
Casos de estudio
Para el respectivo estudio se ideó la siguiente estructura de análisis:
La estructura es simétrica con carga simétrica, simplificándose por simetría horizontal y vertical, como
parte de sus propiedades se considera una deformación de flexión constante (EI=cte.), una deformación
axial (EA) infinita.
La investigación se desarrolla con los siguientes métodos:
Método directo de la rigidez.
Método de rigidez sistematizado.
Caso 1. Método directo de la rigidez
Figura 2
Estructura propuesta
Figura 3
Estructura resultante de la simetría.
Rupay et al.
46
Figura 4
Sistema Q-D
Figura 5
Sistema primario
Figura 6
Sistema complementario D1=1
Figura 7
Sistema complementario D2=1
Figura 8
Sistema complementario D3=1
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a. Matriz de rigidez.
b. Vector de deformaciones.
c. Fuerzas internas (Momento flector)
d. Fuerzas internas (Fuerza cortante)
Figura 9
Diagrama de momento flector
Figura 10
Diagrama de fuerza cortante
Caso 2. Método de rigidez sistematizado.
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Figura 11
Sistema global Q-D
Figura 12
Sistema local q-d
Figura 13
D1=1 matriz de transformación.
Figura 14
D2=1 matriz de transformación.
Figura 15
D3=1 matriz de transformación.
Figura 16
Matriz de rigidez para la barra 1-2.
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Figura 17
Matriz de rigidez de la barra 2-3.
Figura 18
Matriz de rigidez en la barra 3-4.
a. Ensamblaje de la matriz de rigidez.
b. Vector de carga.
Figura 19
Vector de carga.
c. Vector de deformaciones.
Rupay et al.
50
d. Fuerzas Internas
Figura 20
Fuerzas para DMF.
Figura 21
DFC.
RESULTADOS
Los resultados obtenidos con el método de rigidez directa y método sistematizado muestran las fuerzas
internas actuantes y a partir de ellas se generan sus respectivos diagramas; estos se comparan con los
valores arrojados por el software Ftool.
Tabla 1
Resultados de momento flector.
Método
Nodo 1
Nodo 2
Nodo 3
Nodo 4
Directo
-4.254
4.857
8.217
-12.461
Sistematizado
-4.252
4.857
8.217
12.458
Ftool
-4.253
4.857
8.215
-12.458
Nota. En esta tabla se muestran los resultados de momento flector del método directo, sistematizado y ftool para analizar la
variación de exactitud.
Análisis de estructura con doble simetría empleando el método de rigidez directo y sistematizado
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Figura 22
DMF obtenido con el método de rigidez directa.
Figura 23
DMF obtenido con el método sistematizado.
Figura 24
DMF con el software ftool.
Figura 25
DMF para la estructura total
Tabla 2
Resultados de fuerza cortante.
Método
Elemento 1-2
Elemento 2-3
Elemento 3-4
Directo
-0.121
0.121
-0.121
0.121
-0.121
0.121
Sistematizado
13.268
6.732
13.268
6.732
13.268
6.732
Ftool
-4.135
4.135
-4.135
4.135
-4.135
4.135
Nota. En esta tabla se muestran los resultados de fuerza cortante del método directo, sistematizado y ftool para analizar la
variación de exactitud.
Rupay et al.
52
Figura 26
DFC obtenido con el método de rigidez directa.
Figura 27
DFC obtenido con el método sistematizado.
Figura 28
DFC con el software ftool.
Figura 29
DFC de toda la estructura
DISCUSIÓN
De acuerdo con Celigüeta (2022) una estructura simétrica nos permite simplificar los cálculos,
permitiendo reducir la estructura a la mitad, la cuarta u octava parte, esto dependerá de la cantidad de
ejes de simetría que tenga la estructura. En este caso se presenta una doble simetría que permite estudiar
una cuarta parte para luego generalizarla a toda la estructura.
La base para el método de rigidez es aplicar los desplazamientos unitarios mediante el principio de
superposición, demostrando que la superposición de desplazamiento nos direcciona a una serie de
ecuaciones en que la significancia física indica que las cargas en los nodos (del sistema Q-D) se
representan como combinaciones lineales de los desplazamientos nodales (Ottazzi, 2010).
Análisis de estructura con doble simetría empleando el método de rigidez directo y sistematizado
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Cabe indicar que al desarrollar el ejercicio por el método de rigidez directa se estableció los grados de
libertad globales de la estructura y sobre estas se obtuvo los coeficientes correspondientes a dichos grados
de desplazamiento y giro; teniendo así la matriz de rigidez de la estructura que nos permite generar el
vector de deformaciones para hallar las fuerzas internas. En el caso del análisis por el método de rigidez
sistematizado se estableció los grados de libertad en un sistema global (GDL de toda la estructura) y un
sistema local (GDL por cada elemento), esto nos permite sistematizar el proceso generando la matriz de
rigidez (local) para cada elemento que ensamblaran la matriz global de la estructura con la interacción
de la matriz de transformación; con ello se obtiene el vector de deformaciones con el que se hallará las
fuerzas internas para cada elemento de la estructura (San Bartolomé, 1998).
Sin embargo, Godiño et al (2017) resalta la importancia de utilizar un software para el análisis de
estructuras como herramienta que permita la competencia en el mercado profesional, en tal sentido el
uso de los programas permite reducir el tiempo obteniendo un resultado con mayor precisión siempre
que se introduzca los datos correctamente.
CONCLUSIONES
En este estudio se aprovechó el doble eje de simetría para reducir la estructura a la cuarta parte,
considerando el apoyo de corte como un apoyo empotrado. Se planteó tres grados de libertad globales,
en el caso del análisis por el método de rigidez directa, estos tres grados de libertar nos permitieron
evaluar la matriz de rigidez y obtener las fuerzas internas de la estructura; para el método sistematizado
se emplearon los grados de libertad locales con los que se obtuvo las fuerzas internas para cada elemento
de la estructura; sin embargo, al comparar ambos métodos encontramos fuerzas internas idénticas. Con
los diagramas generados por el software Ftool se validan los resultados con una gran exactitud, lo que
nos permite afirmar que en esta estructura ambos métodos son igual de exactos, así como afirmar que la
aplicación de los ejes de simetría simplifica el análisis, ya que los resultados obtenidos en una cuarta
parte de la estructura se pueden generalizar teniendo en consideración el sentido de los elementos.
Se concluye afirmando que tanto el método rigidez directa como sistematizada arrojan resultados
exactos, pero el método sistematizado es mas viable en cuanto al tiempo de resolución, recomendando
emplear los ejes de simetría en próximos estudios, ya que estos facilitan el análisis.
Rupay et al.
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